Решение задач по теме "Вектора". Действия с векторами, скалярное, векторное и смешанное произведение, площадь параллелограмма, объем параллелепипеда, направляющие косинусы, угол между векторами.
1. Дано: A (14; 4; 5), B (-5;-3;2), C (-2;-6;3), D (-2;2;-1) Вычислить . Найти объем параллелепипеда, построенного на векторах .
Решение. Таким образом, Ответ:
2. Дано: A(1; 2; 0), B(3; 0; -3), C(5;2;6), D(8;4;-9) Вычислить .. Найти объем параллелепипеда, построенного на векторах .
Решение.
Таким образом,
Ответ:
3. Заданы вершины треугольника . Построить треугольник. Найти: а) векторы и их модули ;
б) направляющие косинусы вектора;
в) единичный вектор вектора ;
г) угол .
.
Решение. a) б)
в) г)
4. Заданы три вектора . Проверить перпендикулярность и параллельность векторов и . Найти
А) векторное произведение и площадь параллелограмма, построенного на векторах и ;
Б) смешанное произведение векторов ; и объем параллелепипеда, построенного на векторах и .
Решение.
Вектора параллельны, если их координаты пропорциональны.
вектора и не параллельны.
Вектора перпендикулярны, если их скалярное произведение равно нулю.
вектора и перпендикулярны.
А)
Б)
5. Даны точки и векторы
Задание:
1) Для векторов , , найти:
a) их координаты;
b) угол между векторами и ;
с) площадь параллелограмма, построенного на векторах и не используя значение угла между ними;
d) объем тетраэдра, построенного на трех векторах;
2) Найти x при котором векторы и параллельны.
Решение.
1)
а)
b)
Таким образом,
с)
d)
2)
Подставляем заданные координаты и получаем
Ответ: 1) а) b) с) d) 2)
6. Даны векторы
Задание: написать разложение вектора по векторам
Решение.
Разложение вектора по векторам будем искать в виде То есть . Запишем это равенство в виде системы и найдем неизвестные коэффициенты:
Решим систему методом Крамера.
Отсюда находим неизвестные
Таким образом,
Ответ:
7. Дан треугольник АВС с вершинами в точках А(3;2;-1), В(-3;4;3), С(1;2;1). Найти: 1) длины сторон АВ и АС.
2) длину средней линии MN, если MN//AB.
3) косинус угла между векторами АВ и АС.
4) площадь треугольника АВС.
Решение.
1)
Ответ:
2) Пусть M –середина стороны АС, N – середина стороны ВС. Тогда
Ответ:
3) Косинус угла между векторами находим по формуле
Найдем скалярное произведение :
В пункте 1) было найдено
Таким образом,
Ответ:
4)
Ответ:
8.Найти объем тетраэдра АВСD, если векторы АВ(-4;2;1), АС(3;-3;0), АD(-1;1;1).
Решение.
Объем тетраэдра ищем по формуле
Таким образом,
Ответ:
9. Найдите координаты, модуль и направляющие косинусы вектора .
Решение.
10. Вычислите скалярное и векторное произведения векторов и , где
Решение.
11. Докажите, что точки A(1;-1;1), B(1;3;1), C(4;3;1), D(4;-1;1) являются вершинами прямоугольника. Вычислите длину его диагоналей.
Решение.
Найдем длины сторон.
То есть длины противоположных сторон равны. Проверим, что углы четырехугольника равны по .
Поскольку все углы равны и противолежащие стороны равны, то - прямоугольник.
Найдем длины диагоналей:
12. Найдите вектор , зная, что он перпендикулярен векторам и и его скалярное произведение на вектор равно 8.
Решение.
Поскольку перпендикулярен векторам и , то он коллинеарен их векторному произведению.
Так как то
Ответ:
13. Вычислите объем параллелепипеда, построенного на векторах , где взаимно перпендикулярные орты.
Решение.
Ответ: 25.
14. Дополнить векторы до ортогонального базиса и нормировать векторы полученного базиса.
Решение.
Система из четырех векторов является ортогональным базисом, если она линейно независима, и все векторы являются попарно перпендикулярными, то есть скалярное произведение
Пусть вектор .
Найдем его из системы , то есть
Это однородная система. Матрица ее коэффициентов имеет ранг 2, так как определитель
. Положим . Тогда получаем:
Полагая , находим
.
И вектор .
Аналогично находим вектор :
, то есть
Это однородная система. Матрица ее коэффициентов имеет ранг 3, так как определитель
Положим . Тогда получаем:
Решим систему методом Крамера:
Отсюда
Полагая, находим
.
И вектор .
Таким образом, имеем базис , где
Нормируем найденный ортогональный базис:
Ответ: