Рейтинг:  4 / 5

Звезда активнаЗвезда активнаЗвезда активнаЗвезда активнаЗвезда не активна
 

Решение задач по теме "Вектора". Действия с векторами, скалярное, векторное и смешанное произведение, площадь параллелограмма, объем параллелепипеда, направляющие косинусы, угол между векторами.

1. Дано: (14; 4; 5), (-5;-3;2), (-2;-6;3), (-2;2;-1)  Вычислить . Найти объем параллелепипеда, построенного на векторах  .

Решение.

 

Таким образом,

 

 Ответ: 

 

 

 

 2. Дано: A(1; 2; 0), B(3; 0; -3), C(5;2;6), D(8;4;-9)  Вычислить .. Найти объем параллелепипеда, построенного на векторах

Решение.

 

 

Таким образом,

 Ответ: 

 

 

3. Заданы вершины треугольника . Построить треугольник. Найти: а) векторы  и их модули ;

б) направляющие косинусы вектора;

в) единичный вектор  вектора  ;

г) угол .

.

 

Решение.

a)

 

б)

в)

 

г)

 

 

4. Заданы три вектора . Проверить перпендикулярность и параллельность векторов  и  . Найти 

А) векторное произведение  и площадь параллелограмма, построенного на векторах   и ;

Б) смешанное произведение векторов  ;  и объем параллелепипеда, построенного на векторах  и .

 

Решение.

Вектора параллельны, если их координаты пропорциональны.

вектора  и  не параллельны.

Вектора перпендикулярны, если их скалярное произведение равно нулю.

 вектора  и перпендикулярны.

А)

  

Б)

 

 

 5. Даны точки     и векторы   

Задание:

1)    Для векторов   найти:

a) их координаты;

b) угол между векторами  и ;

с) площадь параллелограмма, построенного на векторах   и   не используя значение угла между ними;

d) объем тетраэдра, построенного на трех векторах;

2) Найти x при котором векторы   и  параллельны. 

Решение.

1)     

а)

 

b)

 

Таким образом,

 

с)

 

 

 

d)

 

2)     

 

Подставляем заданные координаты и получаем

 

Ответ: 1) а)   b)  с)   d)     2) 

 

      6.  Даны векторы   

      Задание: написать разложение вектора  по векторам   

Решение.

Разложение вектора  по векторам  будем искать в виде То есть . Запишем это равенство в виде системы и найдем неизвестные коэффициенты:

 

Решим систему методом Крамера.

 

Отсюда находим неизвестные

 

Таким образом, 

Ответ: 

 

 

7. Дан треугольник АВС с вершинами в точках А(3;2;-1), В(-3;4;3), С(1;2;1). Найти: 1) длины сторон АВ и АС.

2) длину средней линии MN, если MN//AB.

3) косинус угла между векторами АВ и АС.

4) площадь треугольника АВС.  

Решение.

1)

 

Ответ: 

 

2) Пусть M –середина стороны АС, N – середина стороны ВС. Тогда

 

 

 Ответ: 

 

3) Косинус угла между векторами находим по формуле

  

Найдем скалярное произведение :

 

В пункте 1) было найдено 

 Таким образом,

 

 Ответ:  

 

4) 

 

 

 Ответ: 

 

 

8.Найти объем тетраэдра АВСD, если векторы АВ(-4;2;1), АС(3;-3;0), АD(-1;1;1).

 

 

Решение.

Объем тетраэдра ищем по формуле

 Таким образом, 

Ответ: 

 

 

9.   Найдите координаты, модуль и направляющие косинусы вектора .

 

 

 

Решение.

 

 

 

10.   Вычислите скалярное и векторное произведения векторов   и , где 

 

 Решение.

 

 

 

11. Докажите, что точки A(1;-1;1), B(1;3;1), C(4;3;1), D(4;-1;1) являются вершинами прямоугольника. Вычислите длину его диагоналей.

 

 

Решение.

Найдем длины сторон.

 

 То есть длины противоположных сторон равны. Проверим, что углы четырехугольника равны по .

 

Поскольку все углы равны  и противолежащие стороны равны, то  - прямоугольник.

Найдем длины диагоналей:

 

 

12. Найдите вектор  , зная, что он перпендикулярен векторам   и  и его скалярное произведение на вектор   равно 8.

 

 

Решение.

Поскольку  перпендикулярен векторам   и  , то он коллинеарен их векторному произведению.

 

 

Так как  то

Ответ: 

 

 

13. Вычислите объем параллелепипеда, построенного на векторах , где  взаимно перпендикулярные орты.

Решение.

 

Ответ: 25.

 

14. Дополнить векторы  до ортогонального базиса и нормировать векторы полученного базиса.

 

 

Решение.

Система из четырех векторов является ортогональным базисом, если она линейно независима, и все векторы являются попарно перпендикулярными, то есть скалярное произведение 

Пусть вектор .

Найдем его из системы , то есть

Это однородная система. Матрица ее коэффициентов  имеет ранг 2, так как определитель

. Положим . Тогда получаем:

Полагая , находим

.

И вектор .

Аналогично находим вектор :

, то есть

 

Это однородная система. Матрица ее коэффициентов  имеет ранг 3, так как определитель

Положим . Тогда получаем:

Решим систему методом Крамера:

Отсюда

Полагая,  находим

.

И вектор .

Таким образом, имеем базис , где

Нормируем найденный ортогональный базис:

 Ответ: