Найти область сходимости степенных рядов:
1.
Решение.
Это степенной ряд вида , где
Радиус сходимости ищем по формуле .
Следовательно, при ряд сходится абсолютно. При ряд расходится.
Проверим на концах интервала:
.
.
Это знакочередующийся ряд.
Условная сходимость:
Последовательность монотонно убывает:
. Следовательно, по признаку Лейбница, в точке , ряд сходится условно.
Абсолютная сходимость:
, ряд - сходится как ряд Дирихле вида с .
Таким образом, в точке , ряд сходится абсолютно.
.
- это знакоположительный ряд. Он ряд сходится, как было показано выше.
Ответ: При ряд сходится абсолютно. При ряд расходится.
2.
Решение.
.
Степенной ряд вида , где
Радиус сходимости будем искать по формуле .
Следовательно при ряд сходится абсолютно. При ряд расходится.
Проверим на концах интервала:
.
.
Абсолютная сходимость:
, ряд - расходится как ряд Дирихле с .
Условная сходимость:
Последовательность монотонно убывает: ;.
.
Следовательно, по признаку Лейбница, в точке , ряд сходится условно.
- этот ряд расходится, как было показано выше.
Ответ: При ряд сходится абсолютно. При ряд расходится, при ряд сходится условно.
3.
Решение.
Степенной ряд вида , где
Радиус сходимости будем искать по формуле .
Следовательно при ряд сходится абсолютно. При ряд расходится.
Проверим на концах интервала:
.
.
Абсолютная сходимость:
Ряд расходится, так как не выполняется необходимое условие сходимости ряда:
Условная сходимость:
. Следовательно, по признаку Лейбница, в точке , ряд расходится.
.
- этот ряд расходится, как было показано выше (не выполняется необходимое условие сходимости).
Ответ: При ряд сходится абсолютно. При ряд расходится.
4.
Решение.
Степенной ряд вида , где
Радиус сходимости будем искать по формуле .
Следовательно, при ряд сходится абсолютно. При ряд расходится.
Проверим на концах интервала:
.
Абсолютная сходимость:
Ряд - расходится как ряд Дирихле с .
Условная сходимость:
Последовательность монотонно убывает: ;
. Следовательно, по признаку Лейбница, в точке , ряд сходится условно.
.
- этот ряд расходится как ряд Дирихле с .
Ответ: При ряд сходится абсолютно. При ряд расходится, при ряд сходится условно.
5.
Решение.
Имеем степенной ряд вида , где
Найдем его радиус сходимости:
Таким образом, ряд сходится абсолютно, при .
Исследуем ряд на сходимость в граничных точках:
- знакочередующийся ряд. Исследуем ряд на абсолютную сходимость:
Ряд проверим на сходимость по интегральному признаку:
Следовательно, ряд сходится абсолютно, а значит он сходится.
Этот ряд сходится по интегральному признаку, как было показано выше. Следовательно, ряд сходится абсолютно при и расходится при
Ответ: Ряд сходится абсолютно при и расходится при
6.
Решение.
Это степенной ряд вида , где
Найдем радиус сходимости:
Таким образом, ряд сходится абсолютно на интервале , расходится при . Проверим ряд на сходимость на концах интервала:
Это знакопеременный ряд. Проверим его на условную сходимость по признаку Лейбница:
Для вычисления предела воспользуемся формулой Стрилинга:
.
Условие Теоремы Лейбница не выполняется, следовательно условной сходимости нет. Абсолютной сходимости, тоже нет, поскольку общий член ряда не стремится к нулю, то есть не выполняется необходимое условие сходимости ряда.
Данный ряд расходится, как было показано выше. Следовательно, степенной ряд сходится абсолютно при , расходится при .
Ответ: Ряд сходится абсолютно при , расходится при .
7.
Решение.
Это степенной ряд вида , где
Найдем радиус сходимости:
Таким образом, ряд сходится абсолютно на интервале , расходится при . Проверим ряд на сходимость на концах интервала:
Это ряд с положительными членами. Проверим выполнение необходимого условия сходимости ряда:
.
Необходимое условие сходимости ряда не выполняется, следовательно, в точке ряд расходится.
Ряд расходится, как было показано выше. Следовательно, абсолютной сходимости нет.
Проверим ряд на условную сходимость, пользуясь признаком Лейбница:
Первое условие теоремы Лейбница не выполняется, следовательно, условной сходимости также нет. Таким образом, в точке ряд расходится.
Получаем ответ.
Ответ: Ряд сходится абсолютно при , расходится при
Найти сумму ряда и область сходимости
1.
Решение.
Исследуем ряд на сходимость:
Степенной ряд вида , где
Радиус сходимости будем искать по формуле .
Следовательно, при ряд сходится абсолютно. При ряд расходится.
Проверим на концах интервала:
.
Покажем, что
Таким образом, по признаку эквивалентности ряды и сходятся и расходятся одновременно.
Ряд - сходится как ряд Дирихле с .Следовательно, ряд также сходится.
.
- этот ряд сходится как и при .
Таким образом, при $x\in[-1; 1]$ ряд сходится абсолютно. При ряд расходится.
Вычислим сумму ряда. При ряд расходится, поэтому При
Найдем сумму при .
Далее используем известное разложение в ряд Маклорена функции (здесь нет модуля, просто скобки, т.к. ), получаем:
Таким образом,
Далее находим сумму
Отсюда
Константа С может быть найдена из условия
Таким образом,
Ответ: , При $x\in[-1; 1]$ ряд сходится абсолютно. При При При