Уравнения второго порядка допускающие понижение порядка.
Решить дифференциальные уравнения.
1. 
Решение.
Это уравнение второго порядка, которое допускает понижение порядка вида 
.
Замена: 
. Тогда 
Получаем
Это уравнение с разделяющимися переменными.
Таким образом,
Получили снова уравнение с разделяющимися переменными
Таким образом, 
Ответ:
2. 
Решение.
Это уравнение второго порядка, которое допускает понижение порядка вида .
Замена: . Тогда
Получаем
Это линейное неоднородное уравнение первого порядка вида 
, где 
, 
.
Сделаем замену $p=u(x)v(x),$ где 
- решение однородного уравнения 
Решим это уравнение.
Таким образом
Отсюда находим
Далее находим функцию $v(x):$
Делаем обратную замену:
Таким образом,
Получили снова уравнение с разделяющимися переменными
Таким образом,
Таким образом,
Ответ: 
3. 
, 
, 
Решение.
Это уравнение второго порядка, которое допускает понижение порядка вида 
. Сделаем замену 
.
Тогда
.
Это уравнение с разделяющимися переменными.
Таким образом, 
Делаем обратную замену: 
Найдем 
, учитывая начальные условия.
Подставим найденное значение:
- это снова уравнение с разделяющимися переменными.
Учитывая начальные условия найдем 
:
Таким образом, 
Ответ: 
.