Уравнения второго порядка допускающие понижение порядка.
Решить дифференциальные уравнения.
1.
Решение.
Это уравнение второго порядка, которое допускает понижение порядка вида .
Замена: . Тогда
Получаем
Это уравнение с разделяющимися переменными.
Таким образом,
Получили снова уравнение с разделяющимися переменными
Таким образом,
Ответ:
2.
Решение.
Это уравнение второго порядка, которое допускает понижение порядка вида .
Замена: . Тогда
Получаем
Это линейное неоднородное уравнение первого порядка вида , где , .
Сделаем замену $p=u(x)v(x),$ где - решение однородного уравнения
Решим это уравнение.
Таким образом
Отсюда находим
Далее находим функцию $v(x):$
Делаем обратную замену:
Таким образом,
Получили снова уравнение с разделяющимися переменными
Таким образом,
Таким образом,
Ответ:
3. , ,
Решение.
Это уравнение второго порядка, которое допускает понижение порядка вида . Сделаем замену .
Тогда
.
Это уравнение с разделяющимися переменными.
Таким образом,
Делаем обратную замену:
Найдем , учитывая начальные условия.
Подставим найденное значение:
- это снова уравнение с разделяющимися переменными.
Учитывая начальные условия найдем :
Таким образом,
Ответ: .